Метрика Хаусдорфа

---

Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, она превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Феликса Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года. Двумя годами позже, та же метрика описывается в книге Вильгельма Бляшке «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ суть два непустых компактных подмножества метрического пространства ${\displaystyle M}$. Тогда расстояние по Хаусдорфу, ${\displaystyle d_{H}(X,\;Y)}$, между ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ есть минимальное число ${\displaystyle r}$ такое, что замкнутая ${\displaystyle r}$-окрестность ${\displaystyle X}$ содержит ${\displaystyle Y}$ и также замкнутая ${\displaystyle r}$-окрестность ${\displaystyle Y}$ содержит ${\displaystyle X}$.

Пусть ${\displaystyle F(M)}$ обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства ${\displaystyle M}$ с метрикой Хаусдорфа:

---