Неравенство треугольника

---

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон (или равносильная формулировка — длина наибольшей стороны меньше суммы длин двух других сторон).

выполняется в любом треугольнике ${\displaystyle \triangle ABC}$. Причём равенство ${\displaystyle AC=AB+BC}$ достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка ${\displaystyle B}$ лежит строго между ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$.

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Пусть ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ — нормированное векторное пространство, где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle \|\cdot \|}$ — определённая на ${\displaystyle X}$ норма. Тогда по определению последней справедливо:

В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.

Пусть ${\displaystyle (X,\rho )}$ — метрическое пространство, где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle \rho }$ — определённая на ${\displaystyle X}$ метрика. Тогда по определению последней

---