Несмещённая оценка

---

Несмещённая оце́нка в математической статистике — это точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру.

Пусть ${\displaystyle {\vec {x}}=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ — выборка из распределения, зависящего от параметра ${\displaystyle \theta \in \Theta }$. Тогда оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}\equiv {\hat {\theta }}\left({\vec {x}}\right)}$ называется несмещённой, если

В противном случае оценка называется смещённой, и случайная величина ${\displaystyle \mathbb {E} {\hat {\theta }}-\theta }$ называется её смеще́нием.

Тогда ${\displaystyle S_{n}^{2}}$ является смещённой, а ${\displaystyle S^{2}}$ несмещённой оценками параметра ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Смещённость ${\displaystyle S_{n}^{2}}$ можно доказать следующим образом.

Пусть ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle {\overline {X}}}$ — среднее и его оценка соответственно, тогда:

Добавив и отняв ${\displaystyle \mu }$, а затем сгрупировав слагаемые, получим:

---