Нормальная форма дифференциальных уравнений

Нормальная форма дифференциальных уравнений есть наипростейшая эквивалентная форма исходных уравнений. Нормальная форма получается с помощью специальных замен зависимых и независимых переменных задачи с целью максимального упрощения структуры уравнений. В математике эти замены переменных связаны с инфинитезимальными преобразованиями групп Ли. В физике вопросы, связанные с нормальной формой, получили отражение в теореме Эмми Нётер.

Впервые идея построения нормальной формы уравнений была сформулирована выдающимся французским учёным Анри Пуанкаре в работе о новых методах небесной механики. Основная мысль, высказанная Пуанкаре, состоит в том, чтобы не стараться всеми силами решить исходные уравнения, а найти такую замену переменных, которая привела бы уравнения к простейшему, по возможности, к линейному виду. Используя обратную замену переменных, можно восстановить исходное решение. Ключевой вопрос — всегда ли существует такая взаимооднозначная замена переменных, что её результатом будут линейные уравнения, — решен в общем случае отрицательно. Оказалось, что если система имеет резонанс в особой точке, то в окрестности этой точки искомой замены нет. Полученные в результате нормализующих преобразований уравнения получили краткое название «нормальная форма».

1. Нормальная форма автономной системы дифференциальных уравнений в окрестности «неособой» точки (где задаваемое этой системой векторное поле в фазовом пространстве $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ отлично от нуля):

${\frac {dx_{1}}{dt}}=1,\ {\frac {dx_{2}}{dt}}=\cdots ={\frac {dx_{n}}{dt}}=0,$