Теоре́ма Нётер или первая теорема Нётер утверждает, что каждой дифференцируемой симметрии действия для физической системы с консервативными силами соответствует закон сохранения[1]. Теорема была доказана математиком Эмми Нётер в 1915 году и опубликована в 1918 году[2]. Действие для физической системы представляет собой интеграл по времени функции Лагранжа, из которого можно определить поведение системы согласно принципу наименьшего действия. Эта теорема применима только к непрерывным и гладким симметриям над физическим пространством.
Теорема Нётер используется в теоретической физике и вариационном исчислении. Она раскрывает фундаментальную связь между симметриями физической системы и законами сохранения, что заставило современных физиков-теоретиков гораздо больше сосредоточиться на симметриях физических систем. Обобщение формулировок о константах движения в лагранжевой и гамильтоновой механике (разработанных в 1788 и 1833 годах соответственно) не применимо к системам, которые нельзя смоделировать с помощью одного лагранжиана (например, к системам с диссипативной функцией Рэлея). В частности, диссипативные системы с непрерывными симметриями могут не обладать соответствующим законом сохранения.
В качестве иллюстрации, если физическая система ведёт себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве (то есть она инвариантна), её лагранжиан симметричен относительно непрерывного вращения: из этой симметрии по теореме Нётер следует, что угловой момент системы сохраняется, как следствие его законов движения[3]. Сама физическая система не обязательно должна быть симметричной; зубчатый астероид, кувыркающийся в космосе, сохраняет момент импульса, несмотря на свою асимметрию. Именно законы его движения симметричны.
В качестве другого примера, если физический процесс приводит к одним и тем же результатам независимо от места или времени, то его лагранжиан симметричен относительно непрерывных перемещений в пространстве и времени соответственно: по теореме Нётер эти симметрии объясняют законы сохранения импульса и энергии в пределах этой системы соответственно[4] [5].
Теорема Нётер важна потому, что она даёт представление о законах сохранения и как практический вычислительный инструмент. Она позволяет определять сохраняющиеся величины (инварианты) из наблюдаемых симметрий физической системы. И наоборот, она позволяет рассматривать целые классы гипотетических лагранжианов с заданными инвариантами для описания физической системы[3]. Например, если в предлагаемой физической теории сохраняется величина X, то можно вычислить типы лагранжианов, в которых сохраняется X в согласии с какой-то непрерывной симметрии. Благодаря теореме Нётер свойства этих лагранжианов дают дополнительные критерии для понимания следствий, что позволяет оценить пригодность новой теории. Теорема Нётер настолько сильно включена в структуру квантовой теории поля, что: