Нормирование (алгебра)

---

Норми́рование — отображение элементов поля ${\displaystyle F}$ или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\mapsto \|x\|}$, обладающее следующими свойствами:

Значение ${\displaystyle \|x\|}$ называется нормой элемента ${\displaystyle x}$. Если упорядоченное поле ${\displaystyle P}$ является полем вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то нормирование часто называют абсолютным значением.

Нормы ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ и ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ называются эквивалентными, если ${\displaystyle \|x\|_{1}<1}$ равносильно ${\displaystyle \|x\|_{2}<1}$.

Согласно теореме Островского^[англ.], любая нетривиальная норма на ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ эквивалентна либо абсолютной величине ${\displaystyle |x|}$, либо р-адическому нормированию.

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ из поля ${\displaystyle F}$ имеем:

---