Определитель Грама

---

Определителем Грама (грамианом) системы векторов ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$ в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

где ${\displaystyle \langle e_{i},\;e_{j}\rangle }$ — скалярное произведение векторов ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ и ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$.

Пусть в евклидовом пространстве ${\displaystyle V}$ система векторов ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$ порождает подпространство ${\displaystyle U}$. Зная, чему равны скалярные произведения вектора ${\displaystyle \mathbf {x} }$ из ${\displaystyle U}$ с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора ${\displaystyle x}$ по векторам ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$.

---