Плотность состояний

---

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем, где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Чтобы вычислить число состояний частицы в единичном энергетическом интервале, сначала найдём плотность состояний в обратном пространстве (пространство волновых векторов, оно же ${\displaystyle k}$-пространство). «Расстояние» по ${\displaystyle k}$ между состояниями определяется граничными условиями.

Для свободных электронов и фотонов в области ${\displaystyle 0<x<L}$ или для электронов в кристаллической решётке с параметром решётки ${\displaystyle L}$ используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана для волновой функции: ${\displaystyle \psi (x)=\psi (x+L)}$. В таком случае ${\displaystyle \psi (x)={\mbox{const}}\cdot e^{ik_{x}x}}$ и для возможных значений ${\displaystyle x}$-компоненты волнового вектора ${\displaystyle k_{x}}$ получается соотношение ${\displaystyle 2\pi N=k_{x}L}$, где ${\displaystyle N}$ — любое целое число. Расстояние между соседними (то есть ${\displaystyle N}$-м и ${\displaystyle N}$${\displaystyle +1}$ -м) состояниями будет

Аналогичные выражения можно записать и для других декартовых координат (${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$). Набор доступных состояний представляет собой бесконечный массив точек по нескольким (скольким именно — зависит от размерности) «направлениям» ${\displaystyle k}$-пространства.

Количество состояний ${\displaystyle G(k)}$, доступных для частицы с модулем волнового вектора меньше заданного значения ${\displaystyle k}$, равно объёму «${\displaystyle n}$-мерного шара радиусом ${\displaystyle k}$», делённому на объём, приходящийся на одно состояние:

---