Предпорядок

---

Предпоря́док (квазипоря́док) — бинарное отношение на множестве, обладающее свойствами рефлексивности и транзитивности. Обычно это отношение обозначается ${\displaystyle \preccurlyeq }$, тогда аксиомы предпорядка на множестве ${\displaystyle M}$ принимают вид:

Линейный предпорядок — предпорядок на множестве, для которого любые два элемента множества сравнимы:

Категория ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ называется предпорядком, если для любых двух объектов ${\displaystyle a,b\in Ob{\mathcal {P}}}$ существует не более одного морфизма ${\displaystyle f\colon a\to b}$. Если ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ — малая категория, то на множестве её объектов можно задать отношение предпорядка по следующему правилу:

Из аксиом категории следует, что такое отношение будет рефлексивным и транзитивным. Предпорядок — абстрактная категория, то есть его в общем случае нельзя представить как категорию некоторых множеств с заданной структурой и отображениями, сохраняющими эту структуру. Также предпорядок — скелетная категория.

Если малая категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ полна в малом, то она является предпорядком, причём каждое малое множество его элементов имеет наибольшую нижнюю грань. Произведение набора (множества, класса) объектов предпорядка — это наибольшая нижняя грань для этого набора. Копроизведение набора объектов — это его наименьшая верхняя грань. Начальный объект ${\displaystyle 0}$ в предпорядке ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, если он существует, — это его наименьший объект, так что ${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {P}}\colon 0\preccurlyeq a}$. Аналогично, терминальный объект предпорядка — это наибольший объект в нём.

---