Начальный объект

---

Начальный объект (отталкивающий объект, инициальный объект) — объект ${\displaystyle I}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ такой, что для любого объекта ${\displaystyle X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle I\to X}$.

Двойственное понятие — терминальный объект (притягивающий объект): объект ${\displaystyle T}$ — терминальный, если для любого объекта ${\displaystyle X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle X\to T}$.

Пустое множество — это единственный начальный объект в категории множеств, одноэлементные множества (синглетоны) — терминальные объекты, нулевых объектов нет. В категории множеств с отмеченной точкой синглетоны являются нулевыми объектами, так же, как и в категории топологических пространств с отмеченной точкой.

Начальный и терминальный объекты существуют не в любой категории, но если они существуют, то определены однозначно: если ${\displaystyle I_{1}}$ и ${\displaystyle I_{2}}$ — начальные объекты, между ними существует изоморфизм, причём единственный.

Терминальные объекты являются пределами пустой диаграммы ${\displaystyle \varnothing \to {\mathcal {C}}}$, то есть пустыми произведениями. Аналогично, начальные объекты являются копределами и пустыми копроизведениями. Из этого следует, что функтор, сохраняющий пределы (копределы), сохраняет терминальные (начальные) объекты соответственно.

В категории групп, так же, как и в категориях абелевых групп, модулей над кольцом и векторных пространств существует нулевой объект (в связи с чем и появился термин «нулевой объект»).

---