Принцип Дюамеля

---

В математике, а более конкретно в дифференциальных уравнениях, принцип Дюамеля позволяет найти решение неоднородного волнового уравнения, а также неоднородного уравнения теплопроводности^[1]. Он назван в честь Жан-Мари Констан Дюамеля (1797—1872), французского математика.

Принцип Дюамеля говорит, что решение неоднородного линейного уравнения в частных производных может быть найдено путём нахождения решения для однородного уравнения, а затем подстановкой его в интеграл Дюамеля. Предположим, у нас есть неоднородное обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка m:

Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.

Определим ${\displaystyle H=G\chi _{[0,\infty )}}$, ${\displaystyle \chi _{[0,\infty )}}$ - характеристическая функция на интервале ${\displaystyle [0,\infty )}$. Тогда

Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.

где ${\displaystyle P(\partial _{t},\xi )}$ это ОДУ порядка m по t. Пусть ${\displaystyle a_{m}}$ это коэффициент слагаемого наивысшего порядка в ${\displaystyle P(\partial _{t},\xi )}$.

---