Проективная модель
Проективная модель (называемая также модель Клейна, модель Бельтрами — Клейна, модель Кэли — Клейна) — модель планиметрии Лобачевского. Предложена итальянским математиком Эудженио Бельтрами. Немецкий математик Феликс Клейн разработал её независимо.
С её помощью доказывается непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости евклидовой геометрии.
Эта модель была предложена Эудженио Бельтрами в 1868 году, наряду с моделью Пуанкаре и моделью псевдосферы[1]
Ещё раньше, в 1859 году эту модель построил Артур Кэли. Но он рассматривал её лишь как некоторую конструкцию в проективной геометрии и, видимо, не заметил никакой связи её с неевклидовой геометрией. В 1869 году с его работой познакомился молодой (20-летний) Феликс Клейн. Он вспоминает, что в 1870 году сделал доклад о работах Кэли на семинаре Карла Вейерштрасса и, как он пишет, «закончил его вопросом, не существует ли связи между идеями Кэли и Лобачевского. Я получил ответ, что это — две далеко отстоящие по идее системы». Как говорит Клейн, «я позволил переубедить себя этими возражениями и отложил в сторону уже созревшую мысль». Однако в 1871 году он к этой мысли вернулся, оформил её математически и опубликовал[2].
Плоскость Лобачевского представлена в этой модели открытым диском, ограниченным некоторой окружностью, называемой абсолютом. Точки абсолюта, называемые также «идеальными точками», плоскости Лобачевского уже не принадлежат. Прямая плоскости Лобачевского — это хорда абсолюта, соединяющая две идеальные точки.
Движениями геометрии Лобачевского в проективной модели объявляются проективные преобразования плоскости, переводящие внутренность абсолюта в себя. Конгруэнтными считаются фигуры внутри абсолюта, переводимые друг в друга такими движениями. Если точки и лежат на хорде так, что порядок их следования на прямой , тогда расстояние в плоскости Лобачевского определяется как
