Производная по направлению

---

В математическом анализе производная по направлению — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, как быстро значение функции изменяется при движении в данном направлении.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению|^[1].

Рассмотрим дифференцируемую функцию ${\displaystyle f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}$ от ${\displaystyle n}$ аргументов в окрестности точки ${\displaystyle {\vec {x}}{\,}^{0}=(x_{1}^{0},\;\ldots ,\;x_{n}^{0})}$. Для любого единичного вектора ${\displaystyle {\vec {e}}=(e_{1},\;\ldots ,\;e_{n})}$ определим производную функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle {\vec {x}}{\,}^{0}}$ по направлению ${\displaystyle {\vec {e}}}$ следующим образом^[1]:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора ${\displaystyle {\vec {e}}}$.

---