Простая группа

---

Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы.

В теории групп Ли и алгебраических групп определение простой группы несколько отличается от приведенного, см. простая группа Ли.

Циклическая группа ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} }$ проста. Действительно, если ${\displaystyle H}$— подгруппа ${\displaystyle G}$, то порядок ${\displaystyle H}$ по теореме Лагранжа должен делить порядок ${\displaystyle G}$, равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть ${\displaystyle H}$ либо тривиальна, либо совпадает с ${\displaystyle G}$. Наоборот, группа ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что всевозможные простые абелевы группы — это в точности циклические группы простого порядка.

---