Прямая Обера

---

Прямая Обера (четырёхсторонника) — прямая, на которой лежат четыре ортоцентра четырёх треугольников, образованных четырьмя попарно пересекающимися прямыми, никакие три из которых не проходят через одну точку. Здесь используются те же четыре треугольника, что и при построении точки Микеля.

Существование прямой Обера обосновывается тем, что совпадают четыре прямых Симсона у этих четырех треугольников, если в качестве точки для всех четырех их описанных окружностей берется их единственная общая точка - точка Микеля. На втором рисунке справа ниже она показана зелёным цветом. См. замечания ниже.

Другими словами, прямая Обера полного четырёхсторонника является радикальной осью двух окружностей, построенных на его диагоналях как на диаметрах.

Последнее утверждение можно сформулировать в следующем виде. Пусть ${\displaystyle ABCD}$ — четырёхугольник, прямые ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ — в ${\displaystyle E}$. Тогда окружности, построенные на отрезках ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle BD}$ и ${\displaystyle EF}$, как на диаметрах, имеют общую радикальную ось, на которой лежат 4 ортоцентра (4 точки пересечения высот) треугольников ${\displaystyle ABE}$, ${\displaystyle CDE}$, ${\displaystyle BCF}$ и ${\displaystyle ADF}$ (прямая Обера — Штейнера).

Как хорошо известно, последняя упомянутая прямая Обера — Штейнера есть директриса параболы, касающейся всех 4 сторон данного полного четырёхсторонника или вневписанной в него^[1].

---