Равностепенная непрерывность

---

Равностепенная непрерывность — свойство семейства непрерывных функций, заключающееся в том, что всё семейство функций изменяется некоторым контролируемым образом. Применяется, чтобы выбрать равномерно сходящуюся последовательность из некоторого семейства функций: теорема Арцела — Асколи позволяет это сделать для равностепенно непрерывного и равномерно ограниченного семейства на, например, компактном метрическом пространстве.

Точное определение равностепенной непрерывности зависит от контекста. В простейшем варианте пусть ${\displaystyle C(a,b)}$ — семейство вещественнозначных непрерывных функций на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, а ${\displaystyle D\subset C(a,b)}$ — некоторое его подсемейство. Это подсемейство называется равностепенно непрерывным, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое ${\displaystyle \delta >0}$, что для любой функции ${\displaystyle f\in D}$ и любых точек ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]}$ из условия ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$ следует условие ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$. Как видно, условие равностепенной непрерывности семейства функций отличается от условия равномерной непрерывности всех функции по отдельности перенесением фрагмента «для любой ${\displaystyle f\in D}$» под пару кванторов на эпсилон и дельту.

---