Решётка (алгебра)

---

Решётка (ранее использовался термин структура) — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

Решётка может быть также определена как универсальная алгебра с двумя бинарными операциями (они обозначаются ${\displaystyle \vee }$ и ${\displaystyle \wedge }$ или + и ∙), удовлетворяющая следующим тождествам

и обратно. При этом для любых элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ эквивалентны следующие утверждения:

Понятия изоморфизма решёток как универсальных алгебр и как частично упорядоченных множеств совпадают. Однако произвольное изотонное отображение решётки ${\displaystyle R}$ в решётку ${\displaystyle R'}$ не обязано быть гомоморфизмом этих решёток как универсальных алгебр.

Подрешётка ― подмножество элементов решётки, замкнутое относительно операций ${\displaystyle +}$ и ${\displaystyle \cdot }$. Примерами подрешёток являются всякое одноэлементное подмножество решётки, идеал, фильтр, интервал.

Подрешётка ${\displaystyle A}$ называется выпуклой, если из ${\displaystyle a,b\in A}$ и ${\displaystyle a<c<b}$ вытекает, что ${\displaystyle c\in A}$. Все подрешётки выше — выпуклые.

---