Ряд Дирихле

---

Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число ${\displaystyle \sigma _{c}}$, что при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>\sigma _{c}}$ он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число ${\displaystyle \sigma _{a}}$, что при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>\sigma _{a}}$ ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение ${\displaystyle 0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1}$ (если ${\displaystyle \sigma _{c}}$ и ${\displaystyle \sigma _{a}}$ конечны).

Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространёнными примерами ряда Дирихле являются дзета-функция Римана и L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Если некоторый ряд сходится в комплексной точке ${\displaystyle s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i}$, то этот же ряд сходится в любой точке ${\displaystyle s=\sigma +ti}$, для которой ${\displaystyle \sigma >\sigma _{0}}$. Из этого следует, что существует некоторая точка ${\displaystyle \sigma =\sigma _{c}}$ такая, что при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>\sigma _{c}}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle \operatorname {Re} s<\sigma _{c}}$ — расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.

---