Самоподобие

---

Самоподобный объект — объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого (то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).

Многие объекты реального мира, например, береговые линии, обладают свойством статистического самоподобия: их части статистически однородны в разных шкалах измерения. Самоподобие есть характеристическое свойство фрактала.

Инвариантность относительно изменения шкалы является одной из форм самоподобия, при которой при любом приближении найдётся по крайней мере одна часть основной фигуры, подобная целой фигуре.

Компактное топологическое пространство X самоподобно, если существует конечное множество S, индексирующее набор несюръективных отображений ${\displaystyle \{f_{s}\}_{s\in S},}$ для которых

Если ${\displaystyle X\subset Y}$, то X называется самоподобным, если оно является единственным непустым подмножеством Y, для которого вышеприведённое уравнение выполняется при заданном семействе ${\displaystyle \{f_{s}\}_{s\in S}}$. В таком случае

именуется самоподобной структурой. Можно проитерировать данные отображения так, что в результате получится система итерированных функций. Композиция функций порождает алгебраическую структуру моноида. В случае, если множество S содержит всего два элемента, моноид называется диадическим. Диадический моноид можно визуально представить в виде бесконечного бинарного дерева; вообще, если множество S имеет p элементов, моноид может быть представлен в виде p-адического дерева.

---