Симплектическое многообразие

---

Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой.

Важнейшим примером симплектического многообразия является кокасательное расслоение ${\displaystyle T^{*}M}$. Симплектическая структура позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам: если ${\displaystyle M}$ — конфигурационное пространство механической системы, то ${\displaystyle T^{*}M}$ — соответствующее ему фазовое пространство.

Дифференциальная 2-форма ${\displaystyle \omega }$ называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю,

и для любого ненулевого касательного вектора ${\displaystyle v\in T_{x}M}$ найдётся вектор ${\displaystyle w\in T_{x}M}$ такой, что

Многообразие ${\displaystyle M}$ с заданной на нём симплектической формой называется симплектическим многообразием.

С каждым симплектическим ${\displaystyle 2n}$-мерным многообразием каноническим образом связано ${\displaystyle (2n+1)}$-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого ${\displaystyle (2n+1)}$-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся ${\displaystyle (2n+2)}$-мерным многообразием.

---