Скалярное поле

---

Скалярное поле (скалярная функция) на некотором конечномерном пространстве ${\displaystyle V}$ — функция, ставящая в соответствие каждой точке из некоторой области этого пространства (область определения) скаляр, то есть действительное или комплексное число. При фиксированном базисе пространства скалярное поле можно представить как функцию нескольких переменных, являющихся координатами точки.

Разница между числовой функцией нескольких переменных и скалярным полем заключается в том, что в другом базисе скалярное поле как функция координат изменяется так, что если новый набор аргументов представляет ту же точку пространства в новом базисе, то значение скалярной функции не изменяется.

Например, если в некотором ортонормированном базисе двумерного векторного пространства скалярная функция имеет вид ${\displaystyle f(v)=x^{2}+2y^{2},}$ то в другом базисе, повернутом на 45 градусов к этому, эта же функция в новых координатах будет иметь вид ${\displaystyle f(v)=3x'^{2}+3y'^{2}-2x'y'}$.

Чаще всего рассматриваются скалярные функции, являющиеся непрерывными или дифференцируемыми (гладкими) достаточное количество раз (то есть, функция должна принадлежать ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$).

Обычно под скалярным полем понимается поле, инвариантное при преобразованиях координат (иногда, и нередко — при определенном классе преобразований координат, например, при преобразованиях, сохраняющих объем, ортогональных преобразованиях и т. п.; но не менее редко имеется в виду инвариантность скалярного поля при произвольных преобразованиях координат, ограниченных, быть может, только гладкостью). (См. скаляр).

В этом смысле далеко не каждая вещественнозначная функция координат является скалярным полем. Простейший пример: в этом смысле не является скалярным полем одна из координатных компонент векторного поля, так как при изменении выбора координат (например, при повороте координатных осей) она не останется неизменной (то есть, не является инвариантом преобразований координат).

---