След матрицы

---

След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если ${\displaystyle a_{ij}}$ элементы матрицы ${\displaystyle A}$, то её след ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A=\sum _{i}a_{ii}}$. Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми (от англ. traceless или tracefree)^[1].

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A}$ (от англ. trace — след), и ${\displaystyle \mathop {\rm {Sp}} \;A}$ (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности компонент, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом:${\displaystyle {\rm {tr}}A=I_{1}(A)=g\cdot \cdot A}$.

Под следом квадратной матрицы ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle n\times n}$ понимают:

${\displaystyle \mathrm {tr} \;A=\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}=a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{n,n},}$

---