Смешанное произведение

---

Сме́шанное произведе́ние ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ — скалярное произведение вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на векторное произведение векторов ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$:

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$.

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

В ${\displaystyle n}$-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы ${\displaystyle n\times n}$, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный ${\displaystyle n}$-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

---