Псевдоскаляр

---

Псевдоскаляр — величина, не изменяющаяся при переносе и повороте координатных осей, но изменяющая свой знак при замене направления одной оси на противоположное (и вообще — при переходе к базису другой ориентации). Псевдотензор нулевого ранга.

Пусть ${\displaystyle V}$ — конечномерное векторное пространство над упорядоченным полем ${\displaystyle K}$. Инвариантное определение псевдоскаляра можно дать следующим образом. Псевдоскаляр есть величина, имеющая абсолютное значение и ориентацию. Это можно понимать по аналогии с обычным скаляром, который имеет абсолютное значение и знак. Более формально ненулевой псевдоскаляр можно определить как упорядоченную пару ${\displaystyle (a,w)}$, где ${\displaystyle a\in K}$ — положительный элемент поля, а ${\displaystyle w}$ — одна из двух ориентаций пространства ${\displaystyle V}$. Кроме этого также определяется особый псевдоскаляр, не имеющий ориентации, но имеющий абсолютное значение равное ${\displaystyle 0}$ (аналогично нулю в скалярах, который не имеет знака). Он называется нулевым псевдоскаляром. Таким образом, псевдоскаляры — это пары вида ${\displaystyle (a,w)}$ плюс нулевой псевдоскаляр.

На псевдоскалярах определяются операции сложения и умножения на скаляр, которые превращают множество псевдоскаляров в одномерное векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$. Нейтральным элементом по сложению является нулевой псевдоскаляр, а противоположный псевдоскаляр получается заменой ориентации на противоположную. Кроме этого определяется также умножение псевдоскаляров, результатом которого является скаляр с абсолютным значением, равной произведению длин множителей, знаком плюс, если ориентации множителей одинаковы, и знаком минус, если разные. Похожим образом определяются произведения псевдоскаляров на векторы, тензоры, псевдовекторы, псевдотензоры. Умножение на псевдовеличину даёт обычную величину того же вида, а на обычную — псевдовеличину.

Как и для других объектов линейной алгебры, выбрав базис пространства можно приписать псевдоскаляру определённую числовую величину. Координата псевдоскаляра в заданном базисе зависит от их ориентаций: если ориентация базиса и псевдоскаляра совпадают, то координата равна абсолютному значению со знаком плюс, если же они противоположны, то абсолютному значению со знаком минус. Формула замены координаты при переходе к новому базису выглядит следующим образом:

---