Спираль

Согласно Математической энциклопедии, спиралями называются плоские кривые, которые «обычно обходят вокруг одной (или нескольких точек), приближаясь или удаляясь от неё». Это толкование термина не является строго формализуемым определением. Если какая-то известная кривая содержит в названии эпитет «спираль», то к этому следует относиться как к исторически сложившемуся названию.

Один из вариантов строгого определения, предполагающий монотонность полярного уравнения кривой, не универсален: выбрав другой полюс, можно нарушить имеющуюся монотонность, и только из-за этого кривая «перестанет быть спиралью», при том, что сама она не изменилась. У спирали Котеса[en] полярное уравнение немонотонно, а спираль Корню имеет два полюса и поэтому не описывается целиком в полярных координатах.

Формальное определение спирали, основанное на монотонности кривизны, принято в монографии[1] (глава 3-3, Spiral Arcs). При этом требуется непрерывность кривизны как функции длины дуги кривой, и рассматриваются только выпуклые кривые[2]. Спиралью в этом смысле является четвертинка эллипса (между двумя соседними вершинами). Интерес к таким кривым был во многом связан с теоремой о четырёх вершинах овала, утверждающей (в терминах обсуждаемого определения), что простая замкнутая кривая с непрерывной кривизной состоит как минимум из четырёх спиральных дуг.

Именно такие определения, с теми или иными уточнениями о выпуклости, строгой/нестрогой монотонности, непрерывности и знакопостоянстве кривизны, ограничениями на полный поворот кривой, используются в приложениях из области автоматизированного проектирования. Основные приложения связаны с конструированием скоростных дорог, в частности, построением переходных кривых, обеспечивающих постепенное изменение кривизны вдоль пути.

Более общее определение, не требующее знакопостоянства и непрерывности кривизны, а лишь её монотонности, принято в статье[3]. В рамках этого определения свойство кривой быть спиралью инвариантно относительно дробно-линейных отображений кривой.

Окружность можно считать вырожденным частным случаем спирали (кривизна не строго монотонна, а является константой).