Теорема о четырёх вершинах утверждает, что функция кривизны простой замкнутой гладкой плоской кривой имеет по меньшей мере четыре локальных экстремума (в частности, по меньшей мере два локальных максимума и по меньшей мере два локальных минимума). Название теоремы отражает соглашение называть экстремальные точки функции кривизны вершинами.
Теорема о четырёх вершинах первоначально доказана для выпуклых кривых (то есть кривых со строго положительной кривизной) в 1909 году индийским математиком Мукхопадхьяей[англ.][1]. Его доказательство использует факт, что точки кривой являются экстремумами функции кривизны тогда и только тогда, когда соприкасающаяся окружность имеет в этой точке 3-й порядок касания с кривой (в общем случае соприкасающаяся окружность имеет только второй порядок касания с кривой). Теорема о четырёх вершинах доказана в общем случае Адольфом Кнезером в 1912 году с помощью идей проективной геометрии[2]. Сейчас известно несколько доказательств, основанных на разных идеях.[3]Одно из наиболее простых предложено Робертом Осерманом[англ.] основано на рассмотрении минимального покрывающего круга.[4]
Теорема, обратная теореме о четырёх вершинах, утверждает, что любая непрерывная, вещественная функция на окружности, имеющая по меньшей мере две точки максимума и по меньшей мере две точки минимума, является функцией кривизны некоторой простой замкнутой плоской кривой. Теорема доказана для строго положительных функций в 1971 году Германом Глюком как специальный случай общей теоремы о предопределённой кривизне n-сфер[5]. Полностью обратная теорема о четырёх вершинах доказана Бьёрном Далбергом незадолго до его смерти в январе 1998 и опубликована посмертно[6]. Доказательство Далберга использует порядок точки относительно кривой, который является некоторым топологическим вариантом доказательства основной теоремы алгебры[7].
Одним из следствий теоремы является то, что катящийся по горизонтальной плоскости под силой тяжести однородный плоский диск имеет по меньшей мере 4 точки равновесия. Дискретная версия этого утверждения гласит, что не может существовать моностатический многоугольник[англ.]. В трехмерном пространстве, однако, моностатический многогранник существует, и существует выпуклый однородный объект с двумя точками равновесия (одна устойчивая, и одна неустойчивая) — гёмбёц.