Преобразование Мёбиуса

---

Преобразова́ние Мёбиуса — преобразование одноточечной компактификации евклидова пространства ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$, представляющее собой композицию конечного числа инверсий относительно гиперсфер и отражений относительно гиперплоскостей^[1].

На комплексной плоскости преобразования Мёбиуса суть простейшие конформные преобразования, а в многомерных расширенных вещественных пространствах размерностей больше двух все конформные отображения мёбиусовы по теореме Лиувилля^[1].

В англоязычной литературе термин «преобразование Мёбиуса» часто определяют только для частного случая преобразования Мёбиуса, задаваемого двумя условиями:

Это определение может рассматриваться как частный случай общего для ${\displaystyle n=2}$, поскольку если расширенную комплексную плоскость ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ представить себе как ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{2}}}=\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \}}$, то определения эквивалентны. В русскоязычной литературе для дробно-линейных функций комплексных чисел используют термин дробно-линейное преобразование.

Для случая ${\displaystyle n=1}$ одноточечная компактификация прямой представляет собой проективно расширенную числовую прямую. На ней преобразования Мёбиуса могут быть определены аналогично комплексному случаю с помощью дробно-линейных функций.

В случае ${\displaystyle n=1}$ пространство ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ представляет собой расширенную числовую прямую. В этом случае преобразование Мёбиуса допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

---