Теорема Лиувилля о конформных отображениях

---

всякое конформное отображение области евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ при ${\displaystyle n\geqslant 3}$ можно представить в виде конечного числа суперпозиций изометрий и инверсий.

Эта теорема выявляет бедность класса конформных отображений в пространстве, и с этой точки зрения она весьма важна в теории аналитических функций многих комплексных переменных и в теорииквазиконформных отображений. Для сравнения, любые две связные односвязные области в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ с более чем одной точкой границы конформно эквивалентны (это теорема Римана об отображении).

Теорема была доказана Лиувиллем в 1850 году. В 1967 году Решетняк обобщил теорему на случай, когда отображение предполагается имеющим лишь обобщённые производные (лежащее в соболевском пространстве ${\displaystyle W_{n}^{1}}$).^[1]

В случае бесконечно дифференцируемых отображений доказательство следует из более общего утверждения дифференциальной геометрии.

---