Среднее геометрическое взвешенное

---

Среднее геометрическое взвешенное — разновидность среднего значения, обобщение среднего геометрического. Для набора неотрицательных вещественных чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ с вещественными весами ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$, такими что ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\neq 0}$, определяется как^[1]

Приведённые формулы имеют смысл для любых значений весов, кроме случаев, когда некоторые ${\displaystyle x_{i}=0}$ и соответствующие веса ${\displaystyle w_{i}\leq 0}$. Поэтому, как правило, полагают, что все числа ${\displaystyle x_{i}>0}$. Также обычно рассматриваются неотрицательные веса.

Если веса ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ нормированы к единице (то есть их сумма равна единице), то среднее геометрическое взвешенное принимает более простой вид:

Пусть дано дискретное распределение вероятностей ${\displaystyle P=\{p_{i}|\,i=1,2,...,N\}}$. Обозначим через ${\displaystyle {\overline {N}}}$ среднее геометрическое взвешенное от величин ${\displaystyle 1/p_{i}}$ с весами ${\displaystyle p_{i}}$, т.е.

Тогда энтропию Шеннона распределения ${\displaystyle P}$ можно записать в виде

---