Среднее геометрическое

---

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным^[1], поскольку среднее геометрическое ${\displaystyle g}$ двух чисел ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ обладает следующим свойством: ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{g}}={\frac {g}{a_{2}}}}$, то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же, как второе число к среднему геометрическому.

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ с вещественными весами ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ определяется как

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, и тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

---