Статистика (функция выборки)

---

Статистика — измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения элементов выборки.

Пусть задана случайная выборка ${\displaystyle x^{m}=(x_{1},\ldots ,x_{m})}$ наблюдений ${\displaystyle x_{i}\in X}$. Как правило, поскольку речь идёт о задачах математической статистики, распределение элементов этой выборки известно исследователю не полностью (например, содержит неизвестные числовые параметры).

Статистикой называется произвольная измеримая функция выборки${\displaystyle T:X^{m}\to \mathbb {R} }$, которая не зависит от неизвестных параметров распределения.

Условие измеримости статистики означает, что эта функция является случайной величиной, то есть определены вероятности её попадания в интервалы и другие борелевские множества на прямой.

Наиболее содержательный аспект данного понятия, отличающий его от прочих случайных величин, зависящих от выборки, заключается в том, что от неизвестных параметров эта функция не зависит, то есть исследователь может по имеющимся в его распоряжении данным найти значение этой функции, а, следовательно — основывать на этом значении оценки и прочие статистические выводы.

Предположим, что имеется числовая выборка ${\displaystyle x^{m}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})}$, элементы которой имеют нормальное распределение ${\displaystyle {\mathcal {N}}(a,\sigma )}$. Допустим, что значение параметра ${\displaystyle a}$ (математического ожидания) известно, то есть это некоторое конкретное число, а значение среднеквадратичного отклонения ${\displaystyle \sigma }$ неизвестно (и его требуется оценить). Для этого может быть использована следующая статистика:

---