Стохастический интеграл
Стохастический интеграл — интеграл вида , где — случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стилтьеса[1].
Введем гильбертово пространство случайных величин , , со скалярным произведением и среднеквадратичной нормой . Здесь - обозначает математическое ожидание. В рамках гильбертова пространства можно описать важнейшие характеристики случайных величин, такие как условные математические ожидания, условные вероятности и т.д.[2]
Пусть - конечный или бесконечный отрезок действительной прямой и на его полуинтервалах вида задана стохастическая аддитивная функция с ортогональными значениями из гильбертова пространства случайных величин , , обладающая свойствами:
Пусть детерминированная функция, удовлетворяющая условию . Рассмотрим последовательность кусочно-постоянных функций , аппроксимирующих функцию так, что ,