Тела вращения

---

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости^[1].

При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси ${\displaystyle x}$ фигуры, ограниченной графиком функции ${\displaystyle y=f(x)}$ на интервале ${\displaystyle [a;b]}$, осью ${\displaystyle x}$ и прямыми ${\displaystyle x=a}$ и ${\displaystyle x=b}$, равен:

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси ${\displaystyle y}$ фигуры, ограниченной графиком функции ${\displaystyle y=f(x)}$ на интервале ${\displaystyle [a;b]}$, осью ${\displaystyle x}$ и прямыми ${\displaystyle x=a}$ и ${\displaystyle x=b}$, равен:

Объём и площадь поверхности тел вращения можно также узнать при помощи теорем Гульдина-Паппа, которые связывают площадь или объём с центром масс фигуры.

Площадь поверхности, образуемой при вращении линии, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равна произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

---