Теоремы Паппа — Гульдина

---

Теоре́мы Па́ппа — Гу́льдина — две теоремы о телах вращения, которые связывают их площадь и объём с длиной окружности, описываемой барицентром. Сформулированы Паппом Александрийским (доказательства он не привёл). Первое известное доказательство принадлежит Паулю Гульдину (1640)^[1].

Площадь поверхности тела, образованного вращением плоской линии (замкнутой или незамкнутой) вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и не пересекающей её, равна произведению длины вращающейся линии на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси до барицентра линии^[2][3].

Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в той же плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до барицентра фигуры^[2][4].

Пусть в плоскости по одну сторону от прямой расположено несколько материальных точек одинаковой массы. Тогда центр тяжести этой системы точек удалён от прямой ${\displaystyle l}$ на расстояние, равное среднему арифметическому расстояний этих точек от прямой ${\displaystyle l}$.

Доказательство: Докажем лемму методом математической индукции. Обозначим число точек через ${\displaystyle n}$, сами точки через ${\displaystyle M_{1}}$, ${\displaystyle M_{2}}$, …, ${\displaystyle M_{n}}$, массу каждой точки через ${\displaystyle m}$, а расстояния точек от прямой ${\displaystyle l}$ через ${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$, …, ${\displaystyle r_{n}}$.

Для ${\displaystyle n=1}$, утверждение леммы очевидно. Пусть лемма верна для ${\displaystyle n-1}$ точки. Тогда их центр тяжести ${\displaystyle P}$ находится на расстоянии

---