Формула Гаусса — Бонне

---

Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей ${\displaystyle \partial \Omega }$. Обозначим через ${\displaystyle K}$ гауссову кривизну ${\displaystyle \Omega }$ и через ${\displaystyle k_{g}}$ геодезическую кривизну ${\displaystyle \partial \Omega }$. Тогда

где ${\displaystyle \chi (\Omega )}$ — эйлерова характеристика ${\displaystyle \Omega }$.

В частности, если у ${\displaystyle \Omega }$ нет границы, получаем

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Фридрихом Гауссом^[1],Пьер Оссиан Бонне^[2] и Жак Бине независимо обобщили формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой; Бине не опубликовал статьи на эту тему, но Бонне упоминаеет об этом на странице 129 своей Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces. Для неодносвязных областей формула появляется в работе Вальтера фон Дика^[3]. Современная формулировка данаВильгельмом Бляшке^[4].

---