Теорема Котельникова

---

Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона, теорема отсчётов) — фундаментальное утверждение в области цифровой обработки сигналов, связывающее непрерывные и дискретные сигналы и гласящее, что «любую функцию ${\displaystyle F(t)}$, состоящую из частот от 0 до ${\displaystyle f_{1}}$, можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом менее чем через ${\displaystyle 1/(2f_{1})}$ секунд»^[1].

При доказательстве теоремы взяты ограничения на спектр частот ${\displaystyle 0<\omega <\omega _{1}}$, где ${\displaystyle \omega =2\pi f}$^[2].

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристике точек разрыва. Если сигнал имеет разрывы любого рода в функции зависимости его от времени, то его спектральная мощность нигде не обращается в ноль. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный сверху конечной частотой ${\displaystyle f_{c}}$».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временно́й характеристике. Соответственно, ширина их спектра бесконечна. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно, и из теоремы Котельникова вытекают следствия^[3][4]:

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал ${\displaystyle x(t)}$ можно представить в виде интерполяционного ряда:

где ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(x)/x}$ — функция sinc. Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям ${\displaystyle 0<\Delta \leqslant {\frac {1}{2f_{c}}}}$. Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала ${\displaystyle x(k\Delta )}$.

---