Теорема Леви о монотонной сходимости

---

Теорема о монотонной сходимости (теорема Бе́ппо Ле́ви) — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега^[1], теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.

Далее ${\displaystyle L_{1}(X,\mu )}$ обозначает пространство интегрируемых функций на пространстве с мерой ${\displaystyle (X,\mu )}$. Мера не предполагается конечной. Для всех интегралов далее областью интегрирования является всё пространство ${\displaystyle X}$.

Теорема Леви (о монотонном пределе интегрируемых функций). Пусть ${\displaystyle f_{n}\in L_{1}(X,\mu )}$ — монотонно неубывающая последовательность функций, интегрируемых на ${\displaystyle X}$, то есть

Теорема Леви (о почленном интегрировании неотрицательных рядов). Пусть ${\displaystyle \varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )}$ — неотрицательные функции, интегрируемые на ${\displaystyle X}$. Если ограничены в совокупности интегралы от частичных сумм ряда

---