Теорема Парсеваля

---

Под теоремой Парсеваля обычно понимают унитарность преобразования Фурье. То есть сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата результата преобразования. Следует заметить, что общий вид теоремы Парсеваля часто называют Теоремой Планшереля или Обобщенной формулой Рэлея. Теорема была доказана для рядов Марком-Антуаном Парсевалем в 1799 году и была позднее применена к рядам Фурье.

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{\cdot \}}$ обозначает непрерывное преобразование Фурье, которое связывает временной или пространственный сигнал ${\displaystyle x(t)}$ с его представлением в частотной области ${\displaystyle X(f)}$.

Более общая и точная формулировка теоремы Парсеваля в теории интеграла Фурье выглядит так. Пусть функции ${\displaystyle f_{1}(x)}$ и ${\displaystyle f_{2}(x)}$ принадлежат пространству ${\displaystyle L^{2}}$ квадратично интегрируемых функций и пусть ${\displaystyle g_{1}(u)}$ и ${\displaystyle g_{2}(u)}$ соответственно являются их преобразованиями Фурье. Тогда:^[1]

где ${\displaystyle X(k)}$ представляет собой дискретное преобразование Фурье сигнала ${\displaystyle x(k)}$, имеющего ${\displaystyle N}$ отсчетов.

---