Функциональный ряд

---

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$.

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве ${\displaystyle \ E}$, включённом в d-мерное евклидово пространство ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{d}}$.

Функциональная последовательность ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ сходится поточечно к функции ${\displaystyle \ {u}(x)}$, если ${\displaystyle \forall x\in E\;\;\;\exists \lim _{k\rightarrow \infty }\ {u_{k}}(x)=\ {u}(x)}$.

Существует функция ${\displaystyle \ u(x):E\mapsto \mathbb {C} }$ такая, что:${\displaystyle \ \sup \mid {u_{k}}(x)-u(x)\mid {\stackrel {k\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,~~x\in E}$

---