Теорема Хана — Банаха

---

Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа, в частности

Пусть ${\displaystyle X}$ — линейное, или векторное, пространство над полем действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ — положительно однородный субаддитивный функционал. Для любого линейного подпространства ${\displaystyle Y}$ линейного пространства ${\displaystyle X}$ каждый линейный функционал ${\displaystyle f:Y\to \mathbb {R} }$, удовлетворяющий условию

может быть продолжен на все пространство ${\displaystyle X}$ с сохранением этого неравенства.

Легко показать, что одной лишь положительной однородности (такая ошибочная формулировка приведена в Математической энциклопедии) или субаддитивности функционала ${\displaystyle p}$ для справедливости этой теоремы недостаточно.

Контрпример для положительно однородного функционала: ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle Y=\{0\}}$, ${\displaystyle p(x):=-|x|,x\in X,f(0)=0}$.

Широко известны различные варианты теоремы о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты для линейных пространств над полем комплексных чисел, когда ${\displaystyle p}$ — полунорма.

---