Сублинейная функция

---

Сублинейной функцией в математике называется функция ${\displaystyle f:V\rightarrow \mathbb {R} }$ над действительным векторным пространством ${\displaystyle V}$ (более обще вместо поля действительных чисел можно рассматривать произвольное упорядоченное поле), для которой выполняются следующие условия:

Эквивалентно в определении условие субадитивности можно заменить условием выпуклости, согласно которому для функции должно выполняться неравенство:

Из сублинейности и положительной однородности тоже, очевидно, следует выпуклость. Учитывая это альтернативное определение, такой тип функций иногда называют однородно-выпуклыми. Другое распространенное название — функционал Банаха, несмотря на появление такого типа функционалов в утверждении теоремы Хана — Банаха.

Другое альтернативное определение: функция ${\displaystyle f:V\rightarrow \mathbb {R} }$ является сублинейной тогда и только тогда, когда выполняется условие:

При ${\displaystyle \gamma >0}$ это следует из определения положительной однородности, при ${\displaystyle \gamma =0}$ — из первого свойства, если же ${\displaystyle \gamma <0}$, то из неравенства в предыдущем свойстве получаем:

---