Теорема Штайница — это комбинаторное описание неориентированных графов, образованных рёбрами и вершинами трёхмерного выпуклого многогранника — они в точности являются (простыми) вершинно 3-связными планарными графами (по меньшей мере с четырьмя вершинами)[1][2]. То есть любой выпуклый многогранник образует 3-связный планарный граф, и любой 3-связный планарный граф может быть представлен как выпуклый многогранник. По этой причине 3-связные планарные графы называют также полиэдральными[3].
Теорема Штайница названа именем Эрнста Штайница, который опубликовал первое доказательство этого результата в 1916 году[4]. Бранко Грюнбаум назвал эту теорему «наиболее важным и глубочайшим результатом о 3-мерных многогранниках»[2].
Неориентированный граф — это система вершин и рёбер, каждое ребро соединяет две вершины. Из любого многогранника можно образовать граф, если вершинами графа принять вершины многогранника и соединять ребром две вершины графа, если соответствующие вершины многогранника являются конечными точками его рёбер. Этот граф известен как одномерный остов многогранника.
Граф является планарным, если его вершины можно расположить на плоскости и нарисовать на этой плоскости рёбра графа как кривые, соединяющие эти точки, таким образом, что никакие два ребра не пересекаются, а вершины лежат на таких кривых, если только вершина является конечной точкой соответствующего ребра. По теореме Фари можно считать, что кривые, на самом деле, являются отрезками. Граф вершинно 3-связен, если после удаления любых двух его вершин любую пару из оставшихся вершин можно соединить путём.
Утверждение теоремы Штайница в одном направлении (более простом для доказательства) гласит, что граф любого выпуклого многогранника является планарным и 3-связным. Как показано на рисунке, планарность можно показать с помощью диаграммы Шлегеля — если разместить точечный источник света вблизи одной из граней многогранника, а с другой стороны разместить плоскость, тени рёбер многогранника образуют планарный граф, вложенный в плоскость таким образом, что рёбра графа представлены в виде отрезков. 3-связность графа многогранника является частным случаем теоремы Балинского, что граф любого k-мерного выпуклого многогранника является k-связным[11].
Утверждение в другую, более сложную, сторону гласит, что любой планарный 3-связный граф является графом выпуклого многогранника.