Теорема о неявной функции

---

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, то есть функции

где значение ${\displaystyle z_{0}\in Z}$ фиксировано.

Если функция ${\displaystyle F:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

тогда найдётся такой двумерный промежуток ${\displaystyle I=I_{x}\times I_{y}}$, являющийся окрестностью точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, и такая непрерывная функция ${\displaystyle f:I_{x}\to I_{y}}$, что для любой точки ${\displaystyle (x,y)\in I}$

Обычно дополнительно предполагается, что функция ${\displaystyle F}$ является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. В том случае строгая монотонность следует из условия ${\displaystyle F_{y}'(x_{0},y_{0})\neq 0}$, где ${\displaystyle F_{y}'}$ обозначает частную производную ${\displaystyle F}$ по ${\displaystyle y}$. Более того, в этом случае функция ${\displaystyle f}$ также является непрерывно дифференцируемой, и её производная может быть вычислена по формуле

---