Теорема о промежуточном значении

---

Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном промежутке, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Пусть дана непрерывная функция на отрезке ${\displaystyle f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )}.}$ Пусть также ${\displaystyle f(a)\neq f(b),}$ и без ограничения общности предположим, что ${\displaystyle f(a)=A<B=f(b).}$ Тогда для любого ${\displaystyle C\in [A,B]}$ существует ${\displaystyle c\in [a,b]}$ такое, что ${\displaystyle f(c)=C}$.

Рассмотрим функцию ${\displaystyle g(x)=f(x)-C.}$ Она непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle g(a)<0}$, ${\displaystyle g(b)>0.}$ Покажем, что существует такая точка ${\displaystyle c\in [a,b]}$, что ${\displaystyle g(c)=0.}$ Разделим отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ точкой ${\displaystyle x_{0}}$ на два равных по длине отрезка, тогда либо ${\displaystyle g(x_{0})=0}$ и нужная точка ${\displaystyle c=x_{0}}$ найдена, либо ${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$ и тогда на концах одного из полученных промежутков функция ${\displaystyle g(x)}$ принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).

---