Теорема синусов

---

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов:

где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — стороны треугольника, ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ — соответственно противолежащие им углы, а ${\displaystyle R}$ — радиус окружности, описанной около треугольника.

Воспользуемся только определением высоты ${\displaystyle h_{b}}$ треугольника, опущенной на сторону b, и синуса для двух углов:

Проведем диаметр ${\displaystyle |BG|}$ для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол ${\displaystyle GCB}$ прямой, а угол ${\displaystyle CGB}$ равен либо ${\displaystyle \alpha }$, если точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle G}$ лежат по одну сторону от прямой ${\displaystyle BC}$, либо ${\displaystyle \pi -\alpha }$ в противном случае. Поскольку ${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha }$, в обоих случаях получаем

Возьмем две формулы для нахождения площади треугольника ${\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}}$ и ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .}$

---