Описанная окружность

Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать $O$ ) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Уравнение описанной окружности можно выразить через декартовы координаты вершин вписанного в неё треугольника. Предположим, что

являются координатами вершин A, B и C. Тогда окружность — геометрическое место точек v = (v_x,v_y), в декартовой плоскости удовлетворяющих уравнениям

гарантирующих то, что вершины A, B, C, и v находятся на одном и том же расстоянии r от общего центра u окружности. Используя поляризационное тождество, эти уравнения можно свести к условию, что линейное отображение, задаваемое матрицей

имеет ненулевое ядро. Таким образом, описанная окружность может быть описана как множество нулей определителя этой матрицы:

мы приводим уравнение окружности к виду a|v|² − 2Sv − b = 0, или, предполагая, что точки A, B, C не лежали на одной прямой (в противном случае окружность вырождается в прямую линию, которая также может рассматриваться как обобщённая окружность с центром S на бесконечности), |v − S/a|² = b/a + |S|²/a², выражая центр окружности как S / а и её радиус как √(b/a + |S|²/a²). Сходный подход позволяет вывести уравнение сферы, описанной вокруг тетраэдра.