Ядро (алгебра)

---

Ядро в алгебре — характеристика отображения ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$, обозначаемая ${\displaystyle \ker f}$, отражающая отличие ${\displaystyle f}$ от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента ${\displaystyle e}$. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения ${\displaystyle f}$ множество ${\displaystyle \ker f}$ всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из ${\displaystyle A}$).

Если множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то ${\displaystyle \ker f}$ также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f}$ и фактормножество ${\displaystyle A/\ker \,f}$.

Ядром линейного отображения ${\displaystyle f\colon V\to U}$ называется прообраз нулевого элемента пространства ${\displaystyle U}$:

${\displaystyle \ker f}$ является подпространством в ${\displaystyle V}$. Оно всегда содержит нулевой элемент пространства ${\displaystyle V}$. Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ ${\displaystyle f}$ изоморфен факторпространству ${\displaystyle V}$ по ядру ${\displaystyle f}$:

Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность ${\displaystyle V}$ конечна:

---