Теория операторов

---

Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

Отображение ${\displaystyle T}$ из векторного пространства ${\displaystyle X}$ в векторное пространство ${\displaystyle Y}$ называется линейным оператором если ${\displaystyle T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)}$ для любых ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle X}$ и любых скаляров ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. Часто пишут ${\displaystyle Tx}$ вместо ${\displaystyle T(x)}$. Линейный оператор из нормированного пространства ${\displaystyle X}$ в нормированное пространство ${\displaystyle Y}$ называется ограниченным если найдется положительное вещественное число ${\displaystyle M}$ такое что ${\displaystyle \lVert Tx\rVert \leqslant M\lVert x\rVert }$ для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle X}$. Наименьшая константа ${\displaystyle M}$ удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора ${\displaystyle T}$ и обозначается ${\displaystyle \lVert T\rVert }$. Нетрудно видеть, что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

---