Транзитивное множество

---

Транзитивное множество — множество, включающее все свои неатомарные элементы в качестве подмножеств. Следующие определения множества ${\displaystyle A}$ как транзитивного эквивалентны:

Понятие введено Бернайсом и Гёделем при построении теории порядковых чисел^[1]. Все ординалы (в стандартном определении фон Неймана) транзитивны, в частности, любое натуральное число (в определении фон Неймана) и множество натуральных чисел — транзитивны. Множество ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ — множество всех подмножеств натуральных чисел — также транзитивно. Класс всех ординалов — пример транзитивного собственного класса. Класс всех множеств — ещё один пример транзитивного собственного класса.

Если ${\displaystyle A}$ транзитивно, то также транзитивны множества ${\displaystyle \bigcup A}$ и ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$.

Множество ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}}$ — простейший пример транзитивного множества, не являющегося ординалом.

Транзитивное замыкание множества ${\displaystyle A}$ обозначается ${\displaystyle \operatorname {tc} A}$ и определяется как

Множество является транзитивным тогда и только тогда, когда оно совпадает с его транзитивным замыканием.

---