Уравнение Риккати

---

Уравнением Риккати называют также многомерный аналог ${\displaystyle (*)}$, то есть систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимыми переменными ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ правые части которых являются многочленами второй степени от переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ с зависящими от ${\displaystyle t}$ коэффициентами. Одномерные и многомерные уравнения Риккати находят применения в различных областях математики: алгебраической геометрии^[1], теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем^[2], вариационном исчислении^[3], теории конформных отображений, квантовой теории поля^[4].

где ${\displaystyle \alpha ,\,a,\,b}$ — не равные нулю постоянные, впервые был исследован итальянскими математиками Якопо Франческо Риккати и семейством Бернулли (Даниил, Иоганн, Николай-старший и Николай-младший)^[5][6][7]. Ими было найдено условие, при котором это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрирование в квадратурах: ${\displaystyle \alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} ,}$ или ${\displaystyle \alpha =-2.}$ Как доказал Жозеф Лиувилль (1841), при других значениях ${\displaystyle \alpha }$ решение уравнения ${\displaystyle (**)}$ нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций.

Уравнение вида ${\displaystyle (*)}$ часто называют общим уравнением Риккати, а уравнение вида ${\displaystyle (**)}$ — специальным уравнением Риккати.

---